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而对于科学岛实验室的众人来说,今天,他们都是前者。
不过,时间终究还是不会等人,随着游乐园的闭园,所有游客都离开了之后,这一天也就结束了,所有人也都汇报已经返回了宿舍,或者是家中,报了平安。
一夜过去。
第二天,太阳照常升起。
萧易昨晚也是就睡在自己办公室中的休息室的,所以起来之后,洗漱完成,就能够在办公室开始进行研究。
从昨天的衣服口袋里面拿出了记事本,看起了上面留下的笔记,他的嘴角微微一笑。
“ok,今天就可以正式开始了!”
联系了王豪,让他从食堂给自己带一份早点过来,随后就坐在了办公桌前,拿出了草稿纸和笔,开始了这最关键的推导。
广义模曲线,那么首先就得先回顾一下模曲线的定义。
【对于一个正整数n,定义模曲线x(n)为复上半平面h的模块空间(odulispace),模掉由Γ(n)作用产生的等价关系。这里,Γ(n)是模群sl(2,z)的主同余子群,定义为……】
“接下来定义广义模曲线……”
【设n是一个正整数,f是一个n维的siel模形式,即全纯函数f:h_n→c,其中h_n是nxn复对称矩阵t=(t_ij)的上半空间,其满足:对于所有的γ∈sp(2n,z),有f((at+b)(ct+d)(-1))=det(ct+d)kf(t),其中(ab;cd)是sp(2n,z)中的元素,k是f的权;在h_n的每个尖点处,f满足一定的增长条件。】
“于是,对于这样的f,就可以定义广义模曲线x_f(n)为siel上半空间h_n的模块空间,模掉由Γ(n)(f)作用产生的等价关系。”
【这里,Γ(n)(f)是siel模群sp(2n,z)的一个子群,它依赖于f,定义为:Γ(n)(f)={γ∈sp(2n,z)|f(γ(t))=f(t),对于所有t∈h_n}】
“到这里,x_f(n)就成功参数化了所有带有f所描述的模性质的n维阿贝尔簇。”
写到了这里,萧易微微一笑。
到这一步,他就算是将最关键的问题解决了。
这个得到拓展的新几何概念,虽然被命名为广义模曲线,但是俨然已经成为了一个全新的东西。
它更加体现出了现代数学中的一个重要思想,那就是通过引入新的数学结构,从而在更高的层次上理解事物的本质,发现隐藏的联系。
“那么,接下来,也该回到扩展l-函数的本身了。”
萧易只是简单的一观察,就很容易能够注意到对于每个n维广义模曲线x_f(n),都存在一类特殊的n维阿贝尔簇,它们的扩展l-函数与x_f(a函数有密切的关系。
当然,仅仅只是观察到还不够,还需要给出证明。
但是既然已经到了这里,那么也就不存在太大的难度了。
花费了几张草稿纸,他最终给出了一个全新的定理:设e是一个n维阿贝尔簇,f是一个n维siel模形式;如果e的模性质由f描述,那么e的扩展l-函数l(s,e,?)等于广义模曲线x_f(a函数ζ(x_f(n),s)。
“如此,最麻烦的一步,也就成功完成了。”
那么,接下来要做的就是,向着最后的证明前进!
阿廷猜想,如今已经拦不住他了。
通过将每个扩展l-函数与一个广义模曲线联系起来,他可以使用广义模曲线的几何性质,如维数、betti数、hod结构等,来刻画扩展l-函数的特性。
最终,答案也终于放在了他的眼前。
半个月后。
……
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